LE NOMBRE D'OR  

 

NOMBRE D’OR avec comme symbole Φ
Nous avons, de par notre éducation et formation culturelle une notion du nombre d’or sans le savoir. Pour le découvrir il suffit de tracer un « BEAU » rectangle. Dans la majorité des dessins les proportions de ces rectangles seront dans le rapport du nombre d’or. Plusieurs formes de nombre d'or : Nombre d'or en astronomie : L’astronome grec Méton aurait découvert en 433 av. J.-C. que 19 années solaires valent 235 lunaisons : après dix-neuf années, les phases de la Lune reviennent aux mêmes dates des mêmes mois. C'était une découverte essentielle apte à fixer le calendrier. Le rang d'une année dans le cycle de Méton prit le nom de nombre d'or. Le nombre d'or est donc compris entre 1 et 19. Le nombre d'or est égal au reste de la division par 19 du millésime de l'année, augmenté de 1; l'an 1 de l'ère chrétienne ayant 2 pour nombre d'or. Cette découverte a été rendue publique lors des Jeux Olympiques. Les Athéniens décidèrent de faire graver « en lettre d’or » ce cycle sur les colonnes du temple de Minerve.

Attention : Ne pas confondre avec le nombre d'or en mathématiques qui est une valeur fixe (voir ci-dessous). De nos jours, vous pouvez retrouver sur certains calendriers cette indication du nombre d’or de l’année considérée (voir éventuellement sous février).

En arithmétique, en dessin, en architecture, ce nombre irrationnel correspond à un rapport de proportion considérée comme particulièrement esthétique. Ce rapport est encore appelé "divine proportion". Il se retrouve aussi dans la nature (règne végétal) et dans différents autres arts (par exemple en musique entre l'intervalle des notes et le rapport des fréquences).

Harmonie : On peut lire dans certains écrits : « … partager selon la moyenne et extrême raison ». Qu’est-ce-que cela veut dire ? Là, nous revenons à l’Antiquité avec Vitruve *** (celui de l’homme de Léonard de Vinci ... voir compléments sous Suite de FIBONACCI) qui au sujet de ce partage disait : « le rapport entre le tout et la plus grande partie de ce tout équivaut à celui qui existe entre la plus grande et la plus petites de ces parties ». Et là nous replongeons dans la « section d’or », longueur et rapport et du « nombre d’or », résultat de ce rapport. Nous pouvons obtenir ce rapport par l’intermédiaire du tracé ci-contre. Explications.

 

Traçons une horizontale de X cm et posons un carré de 10 cm sur cette ligne. Nous obtenons le carré ABCD. Au milieu de DC nous avons le point M. Plaçons la pointe d’un compas sur cette intersection M et avec une ouverture MB traçons un quart de cercle (tracé en vert) qui coupe notre horizontale en F. Si nous élevons une verticale à partir du point F, celle-ci va couper en E la prolongation de notre horizontale AB. Nous obtenons un rectangle AEFD.Si vous mesurez la distances BE vous trouverz 6,18 cm et notre nouveau rectangle AEFD est dans le rapport du nombre d’Or.

Revenons à notre explication de Vitruve ce qui nous donnera : le tout = DF, DC pour la plus grande du tout et CF pour la plus petite. En calculant nous obtenons :

DF divisé par DC = 16,18 : 10 = 1,618
et DC divisé par CF = 10 : 6,18 = 1,6186. C’est notre fameux rapport du nombre d’or, 1,618 appelé Phi  et représenté par le symbole Φ
En arithmétique, la formule de ce rapport s’écrit :
Φ (Phi) = (racine carrée de 5 + 1) : 2 = 1,618

 

 Ci-dessus, le tracé d'un "rectangle d'or"  ABCD dans cette proportion : largeur = 1,0 et longueur = 1,618. En juxtaposant à ce rectangle un carré BEFC, nous obtenons un nouveau rectangle dans cette même proportion phi : (1,0 + 1,618) : 1,618 = 1,618

LA SPIRALE D’OR

Rappel : La valeur du nombre d’or approchée, nombre irrationnel  est de 1,6180339875... En multipliant ce nombre par lui-même, à savoir 1,61803 x 1,61803, vous obtenez 2,618. Ce qui revient à écrire 1,61803 + 1.  De là découle la construction ci-dessous.

  Pour construire une spirale d’or, dessinez un petit rectangle dans les proportions de  phi = 1.618. Ici, le plus petit rectangle 1.  Ajoutez à ce rectangle le carré 2 de même dimension que la longueur de ce rectangle pour obtenir le rectangle 1+2. Continuez en ajoutant le carré 3 pour obtenir le rectangle 1+2+3. Puis ajoutez le carré 4 pour obtenir le rectangle 1+2+3+4 ... et ainsi de suite. Tous les rectangles obtenus sont dans ce même rapport du nombre d’or, à savoir, en divisant la longueur par la largeur du rectangle vous trouverez 1,618. Vous remarquerez que les 2 diagonales correspondent à la diagonale de chaque rectangle successivement obtenu.
Représentation  de la spirale d’or : il faut tout simplement tracer  un quart de cercle ayant pour centre l’angle du carré ajouté.

 

PROGRESSION RYTHMIQUE ET NOMBRE D’OR

Nous allons construire un rectangle ABCD de 21 sur 13, 2 nombres que l’on trouve dans la suite de Fibonacci, à savoir : 0-1-1-2-3-5-8-13-21-34 etc ... Dans ce rectangle nous traçons la diagonale CA. Ensuite, tracé d’une parallèle EF à BC, tel que EB = BC, pour obtenir un carré de 13 x 13. La diagonale FB de ce carré coupe la diagonale CA du rectangle au point G. La verticale GJ coupe BC au point J et nous donne un nouveau carrée IBJG dont le coté mesure : 13 : 1,618 = 8,034 ce qui donne pour JC 13 – 8,034 = 4,96. Nous avons là aussi le rapport du nombre d’or car 8,034 : 4,96 = 1,619 compte tenu des arrondis.

Le rectangle GJCL est lui aussi dans ce même rapport, à savoir : GJ : JC = 8,034 : 4,96 = 1,619. En continuant le tracé sur la diagonale CA, celle-ci coupe un coté de notre carrée EBCF au point K. La verticale KH délimite un nouveau carrée EIHK dont le coté mesure  8,035 : 1,618 = 4,96.Vous remarquerez que l’autre  diagonale CE du carrée EBCF coupe IL au point H situé sue la même verticale KH.

Nous pouvons ainsi continuer les tracés successifs vers A et nous resterons toujours dans ce partage et ce rapport du nombre d’Or. A noter, qu’en peinture, beaucoup d’artistes utilisent cette construction de base pour mettre en place les différents éléments composant le tableau. 

Bâtisseurs, architectes et nombre d’Or.

De nombreuses constructions ont été réalisées grâce à ce gabarit et cette progression rythmique. Je pense qu’il est inutile de rappeler ici que le système métrique n’existait pas dans des périodes anciennes. On mesurait en toise = distance entre écartement des bras. C’est de là que vient certainement l’expression passer sous la toise car cette dimension correspond à la taille de l’individu. Les autres mesures, pas, coudée, pied, palme, empan, pouce, sont toutes dans ce rapport du nombre d’Or. A cet effet, le maître d’œuvre, possédait une pige, règle graduée par différentes longueurs : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée.

Définies en lignes,  le rapport représentait :
paume = 7,64 x 1,618 = 12,36 = palme
palme x 1,618 = 20 = empan
empan x 1,618 = 32,36  = pied
pied x 1,618 = 52,36 = coudée
La somme de 2 longueurs qui se suivent équivaut à la 3^ème : 7,64 + 12,36 = 20, 20 + 12,36 = 32,36, 32,36 + 20 = 52,36 ... tiens ...tiens, la suite de Fibonacci 1-2-3-5-8-13 etc...

 Détermination des différentes graduations :
le maître-d ‘œuvre se servait  d’une « équerre étalon »
ou A = 1 empan et B = ½ empan (voir croquis ci-dessous).
Les 3 dimensions de cette équerre donnaient :
 A + H = 1 palme           et A + H +B = 1 coudée.
A partie de cette équerre, les dimensions plus petites étaient définie par le tracé ci-dessous : c-b = cd, puis ad = ae   
ce qui nous donne : ae = palme et  eb = paume. 

 

Ces différentes dimensions étaient reportées sur la pige. On retrouve ce même partage sur notre rectangle ABCD initialement tracé. En comparant ces anciennes mesures à notre système métrique, et en sachant qu’une coudée égyptienne correspondait à 50 cm, la longueur totale de la pige était de 119,1 cm ... ce qui n’est pas très loin de notre mètre.